牛顿-莱布尼茨公式

编辑讨论上传视频本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。 ^[1]牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式， ^[2] 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。 ^[1] 因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。 ^[1]中文名牛顿-莱布尼茨公式外文名Newton-Leibniz formula分    类数学又    名微积分基本定理时    间1677年提出 牛顿 莱布尼茨

目录

1. 1 定理定义
2. ▪ 定义
3. ▪ 弱化条件
4. 2 公式推导

1. ▪ 推导一
2. ▪ 推导二
3. 3 定理推广
4. ▪ 二重积分形式
5. ▪ 曲线积分形式

1. 4 发展简史
2. 5 定理意义
3. 6 公式应用

定理定义

编辑

拿破仑定理

编辑讨论上传视频拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑·波拿巴已知最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆中心恰为另一个等边三角形的顶点。”该等边三角形称为拿破仑三角形。如果向内（原三角形不需为等边三角形）作三角形，结论同样成立。 ^[1]中文名拿破仑定理外文名Napoleon’s Theorem别    称拿破仑三角形提出者拿破仑·波拿巴提出时间1795年应用学科数学、欧几里得几何适用领域范围数学、教学适用领域范围欧式几何

目录

1. 1 验证推导
2. 2 证明一
3. 3 证明二
4. 4 证明三

验证推导

编辑在△ABC的各边上向外各作等边△ABF，等边△ACD，等边△BCE。如何证明：这3个等边三角形的外接圆共点？思路1：利用四点共圆来证明三圆共点。这是证明拿破仑定理的基础。证明：设等边△ABF的外接圆和等边△ACD的外接圆相交于O；连AO、CO、BO。∴ ∠AFB=∠ADC=60°；∵ A、F、B、O四点共圆；A、D、C、O四点共圆；∴ ∠AOB=∠AOC=120°；∴ ∠BOC=120°；∵ △BCE是等边三角形∴ ∠BEC=60°；∴ B、E、C、O四点共圆∴ 这3个等边三角形的外接圆共点。结论：因为周角等于360°，所以，∠AOB=∠AOC=120°时，∠BOC就等于120°；用四点共圆的性质定理和判定定理来证明三圆共点的问题。拿破仑定理证明图以任意三角形的三边为边向外作等边三角形，则这三个等边三角形的中心的连线是一个等边三角形。求证：上面3个等边三角形的中心M、N、P的连线构成一个等边三角形？

证明一

编辑思路1：利用已有的三个圆和三个四点共圆来证明。证明：设等边△ABD的外接圆⊙N，等边△ACF的外接圆⊙M，等边△BCE的外接圆⊙P相交于O；连AO、CO、BO。∵ A、D、B、O四点共圆；A、F、C、O四点共圆B、E、C、O四点共圆∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°；∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°；∵ NP、MP、MN是连心线；BO、CO、AO是公共弦；∴ BO⊥NP于X；CO⊥MP于Y；AO⊥NM于Z。∴ X、P、Y、O四点共圆；Y、M、Z、O四点共圆；Z、N、X、O四点共圆；∴ ∠N=∠M=∠P=60°；即△MNP是等边三角形。

证明二

编辑思路2：证明原三角形重心至外围三个等边三角形几何中心距离相等。

左图中绿色辅助线利用中线特性求其长度，绿色角度值亦可用余弦定理求出，结合垂角，进一步利用余弦定理求出两几何中心距离，同理可证原重心与另外两个等边三角形的几何中心距离。费马点也是证明拿破仑定理的好方法。拿破仑三角形证明方法二右图即是用费马点的性质来推导拿破仑定理的证明方法。

证明三

编辑思路3：用相似证明三边相等证明：如图，分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长，向△ABC外作等边三角形（△BCC’、△ACA’、△ABB’），设这三个三角形的中心分别为D，E，F，
　　则：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°
　　以点A为圆心，以AF长为半径作弧；以点E为圆心，以DC长为半径作弧。设两弧在多边形AFBDCE内交于点G。则AG=AF，GE=DC。
　　连接GF、GA、GE，DE、DF、EF。
　　∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形（即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°）
　　∴△ABF∽△BCD∽△ACE，
　　∴AF/AB = AE/AC = DC/BC拿破仑三角形证明方法三　又∵AG=AF，GE=DC
　　∴AG/AB = AE/AC = GE/BC
　　∴△AGE∽△ABC
　　∴∠GAE=∠BAC
　　∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°
　　又∵AG=AF
　　∴△AGF为等边三角形
　　∴AG=AF，∠AGF=60°　∵△AGE∽△ABC
　　∴∠AGE=∠ABC
　　又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°
　　∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°
　　∴∠FBD=∠FGE
　　∵在△FBD和△FGE中，
　　FB=FG，∠FBD=∠FGE，BD=GE
　　∴△FBD≌△FGE(SAS)
　　∴FD=FE
　　同理，FD=DE
　　∵FD=DE=FE
　　∴△DEF为等边三角形

费马大定理

（数学定理定律）

编辑讨论21上传视频本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶·德·费马提出。他断言当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。德国人沃尔夫斯凯尔曾宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。费马大定理被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年，英国数学家安德鲁·怀尔斯宣布自己证明了费马大定理。费马大定理与黎曼猜想已经成为广义相对论和量子力学融合的m理论几何拓扑载体。中文名费马大定理外文名Fermat’s Last Theorem别    称费马最后的定理表达式x^n + y^n = z^n（n >2时，没有正整数解）提出者皮耶·德·费马提出时间1637年左右应用学科数学代数证明者安德鲁·怀尔斯（英国）证明时间1995年彻底证明

目录

1. 1 猜想提出
2. 2 猜想内容
3. 3 历史研究
4. ▪ 接力证明
5. ▪ 悬赏求证
6. ▪ 莫德尔猜想
7. ▪ 谷山丰猜想

1. ▪ 证明完成
2. 4 证明者简介
3. 5 社会评价
4. 6 年表
5. 7 黎曼猜想、费马大定理、m理论联系在一起

1. ▪ 1，从四色定理开始
2. ▪ 2，可以构造无穷多个两两相连区域
3. ▪ 3，图论与数论联系起来
4. ▪ 4，筛子与哥德巴赫猜想
5. ▪ 5，与费马大定理联系起来

1. ▪ 6，与黎曼猜想联系起来了
2. ▪ 7，一系列数论命题联合表示m理论

猜想提出

编辑费马大约在1637年左右，法国学者费马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（拉丁文原文: “Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.”）由于费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，涉及许多数学手段，推动了数论的发展。

猜想内容

编辑当整数

时，关于

的方程

没有正整数解。

历史研究

编辑

接力证明

1753年瑞士著名数学家欧拉，在写给哥德巴赫的信中说，他证明了n=3时的费马猜想，1770年其证明发表在《代数指南》一书中，方法是“无限下降法”和形如

数系的唯一因子分解定理，这一方法也被后人多次引用。 ^[1]1816年巴黎科学院把费马猜想转化简化归结为n是奇素数的情况，认为费马猜想应该成立，并称之为费马大定理（以区别费马关于同余的小定理），并为证明者设立大奖和奖章，费马大定理之谜从此进一步风靡全球。费马自己证明了n=4的情形。十九世纪初法国自学成才的女数学家热尔曼证明了当n和2n+1都是素数时费马大定理的反例x，y，z至少有一个是n整倍数。在此基础上，1825年德国数学家狄利克雷和法国数学家勒让德分别独立证明费马大定理在n=5时成立，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理。1839年，法国数学家拉梅对热尔曼方法作了进一步改进，并证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合得很紧密的巧妙工具，只是难以推广到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明，但没有成功。1844年，库默尔提出了“理想数”概念，他证明了：对于所有小于100的素指数n，费马大定理成立，此一研究告一阶段。但对一般情况，在猜想提出的头二百年内数学家们仍对费马大定理一筹莫展。1847年，巴黎科学院上演戏剧性一幕， 当时著名数学家拉梅和柯西先后宣布自己基本证明费马大定理，拉梅还声称证明引用了刘维尔复数系中的唯一因子分解定理，刘维尔则说这一定理源自欧拉和高斯的思想。大数学家都被扯入其中，似乎结论十分可靠。就在此时刘维尔宣读了德国数学家库默尔的来信，明确指出证明中的复数系的唯一因子分解定理并不普遍成立，于是拉梅和柯西的证明都是错的。大约在1850年前后，高斯的学生、德国数学家库默尔看到唯一因子分解是否成立是欧拉、热尔曼创立的试图证明费马大定理的方法关键，于是他创立了一种“理想数环”理论，据说这一思想也受其老师高斯启发，高斯表面上声称对费马大定理不感兴趣，实际上对n=7久思不解。学生库默尔运用独创的“理想素数”理论，一下子证明了100以内除37、59、67以外的所有奇数费马大定理都成立，使证明问题取得了第一次重大突破。库默尔之后近半个世纪，费马大定理证明都停滞不前，直到二十世纪前期大数学家勒贝格向巴黎科学院提交了一个费马大定理的证明论稿，由于勒贝格当时的权威声望，大家都以为这下问题解决了，但经过广泛传阅其证明稿件，人们遗憾地发现大数学家的分析证明还是错的。

悬赏求证

1908年，哥廷根皇家科学协会公布沃尔夫斯凯尔奖：凡在2007年9月13日前解决费马大定理者将获得100000马克奖励。提供该奖者沃尔夫斯凯尔是德国实业家，年轻时曾为情所困决意在午夜自杀，但在临自杀前读到库默尔论述柯西和拉梅证明费马定理的错误让他情不自禁地计算到天明，设定自杀时间过了，他也放不下问题的证明，数学让他重生并后来成为大富豪，1908年这位富豪去世前，遗嘱将其一半遗产捐赠设奖，以谢其救命之恩。从此世界上每年都会有成千上万人宣称证明了费马大定理，但全部都是错的，一些数学权威机构，不得不预写证明否定书。

莫德尔猜想

1922年，英国数学家莫德尔提出一个著名猜想，人们叫做莫德尔猜想．按其最初形式，这个猜想是说，任一不可约、有理系数的二元多项式，当它的“亏格”大于或等于2时，最多只有有限个解．记这个多项式为f(x，y)，猜想便表示：最多存在有限对数偶xi，yi∈Q，使得f(xi，yi)=0。后来，人们把猜想扩充到定义在任意数域上的多项式，并且随着抽象代数几何的出现，又重新用代数曲线来叙述这个猜想了。而费马多项式

没有奇点，其亏格为

。当

时，费马多项式满足猜想的条件。因此，如果莫德尔猜想成立，那么费马大定理中的方程

本质上最多有有限多个整数解。二战后随着计算机的出现，大量的计算已不再成为问题。借助计算机的帮助，数学家们对500以内，然后在1000以内，再是10000以内的值证明了费马大定理，到80年代，这个范围提高到25000，然后是400万以内。1983年，德国数学家法尔廷斯证明了莫德尔猜想，从而翻开了费马大定理研究的新篇章．法尔廷斯也因此获得1986年菲尔兹奖。

谷山丰猜想

1955年，日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线与另一类数学家们了解更多的曲线——模曲线之间存在着某种联系；谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓“谷山—志村猜想”，这个猜想说明了：有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。这个很抽象的猜想使一些学者搞不明白，但它又使“费马大定理”的证明向前迈进了一步。1958年英国数学家Birch和Swinnerton–Dyer构造了椭圆曲线E的L（E，s）函数，他们对该函数在s=1处的零点与椭圆曲线E上的有理点关系给出了一个简称BSD猜想。1984年，德国数学家弗雷在德国小城奥伯沃尔法赫的一次数论研讨会上宣称：假如费马大定理不成立，则由费马方程可构造一个椭圆曲线，它不可被模形式化（一个命题：假定“费马大定理”不成立，即存在一组非零整数

使得

，那么用这组数构造出的形如

乘以

的椭圆曲线，不可能是模曲线。），也就是说谷山—志村猜想将不成立。但弗雷构造的所谓“弗雷曲线”不可模形式化也说不清具体证明细节，因此也只是猜想，被称为“弗雷命题”，弗雷命题如得证，费马大定理就与谷山—志村猜想等价。1986年美国加州大学伯克利分校的肯·里贝特教授，为了证明弗雷命题已经奋斗了十八个月，曾亲耳听到弗雷当年演讲的里贝特深信自己能证明弗雷命题，但久攻未克，这年夏天哈佛大学教授巴里·梅袓尔来伯克利访问并参加国际数学家大会，有一次里贝特与他一起喝咖啡，便研讨起弗雷命题，梅袓尔的一个提醒让里贝特恍然大悟，里贝特随即完成了弗雷命题的证明，并当即在这届国际数学家大会内外传开。世界数学界为之兴奋。

证明完成

1986年，英国数学家安德鲁·怀尔斯听到里贝特证明弗雷命题后，感到攻克费马大安德鲁·怀尔斯定理到了最后攻关阶段，并且这刚好是他的研究领域，他开始放弃所有其它活动，精心梳理有关领域的基本理论，为此准备了一年半时间把椭圆曲线与模形式通过伽罗瓦表示方法“排队”。接下来的要将两种“排队”序列对应配对，这一步他两年无进展。此时他读博时学的岩泽理论一度取得实效，到1991年他之前的导师科茨告诉他有位叫弗莱切的学生用苏联数学家科利瓦金的方法研究椭圆曲线，这一方法使其工作有重大进展。1993年6月在剑桥牛顿学院要举行一个名为“L函数和算术”的学术会议，组织者之一正是怀尔斯的博士导师科茨，于是在1993年6月21日到23日怀尔斯被特许在该学术会上以“模形式、椭圆曲线与伽罗瓦表示”为题，分三次作了演讲。听完演讲人们意识到谷山—志村猜想已经证明。由此把法尔廷斯证明的莫德尔猜想、肯·里贝特证明的弗雷命题和怀尔斯证明的谷山—志村猜想联合起来就可说明费马大定理成立。其实这三个猜想每一个都非常困难，问题是怀尔斯的最后证明，他变为完成费马大定理证明的最后一棒。1993年6月23日从剑桥牛顿学院传出费马大定理被证明之后，世界媒体铺天盖地般报道了该喜讯。但此刻数学界反倒十分冷静，明确指出论证还需仔细审核，因为历史上曾多少次宣布证明但后来被查证错误。怀尔斯的证明被分为6个部分分别由6人审查，其中由凯兹负责的第三部分查出关于欧拉系的构造有严重缺陷，使科利瓦金—弗莱切方法不能对它适用，怀尔斯对此无能为力，1993年12月怀尔斯公开承认证明有问题，但表示很快会补正。一时间怀尔斯的证明被认为是历史上拉梅、柯西、勒贝格、里贝特（里贝特也曾称证明了谷山—志村猜想）错误证明的又一例子。1994年1月怀尔斯邀请剑桥大学讲师理查德·泰勒到普林斯顿帮他完善科利瓦金—弗莱切方法解决问题，但整整8个月过去，问题没有解决。泰勒准备再过一个月后回剑桥，然后怀尔斯正式公布手稿，承认证明失败，1994年9月19日怀尔斯想自己证明失败原因该怎么写，回顾自己是先用岩泽理论未能突破而后用科利瓦金—弗莱切方法，又对该法一类特殊欧拉系出了问题，这样一想，突然又想到何不再用岩泽理论结合科利瓦金—弗莱切方法试试？问题解法就是这样，怀尔斯绝处逢生，修补了漏洞。1994年10月25日11点4分11秒，怀尔斯通过他以前的学生、美国俄亥俄州立大学教授卡尔·鲁宾向世界数学界发送了费马大定理的完整证明邮件，包括一篇长文“模形椭圆曲线和费马大定理”，作者安德鲁·怀尔斯。另一篇短文“某些赫克代数的环理论性质”作者理查德·泰勒和安德鲁·怀尔斯。至此费马大定理得证。 ^[2]1995年，他们把证明过程发表在《数学年刊》（Annals of Mathematics）第141卷上，证明过程包括两篇文章，共130页，占满了全卷，题目分别为Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem ^[3] （模形椭圆曲线和费马大定理）以及Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras（某些赫克代数的环理论性质） ^[4] 。 ^[5]

证明者简介

编辑安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles），英国著名数学家、牛津大学教授、美国科学院外籍院士。现在任教于英国牛津大学。1996年3月，怀尔斯获得沃尔夫奖(Wolf Prize)和5万美金。1996年6月，当选为美国国家科学院外籍院士并获该科学院数学奖；1997年6月27日，怀尔斯获得沃尔夫斯凯尔10万马克悬赏大奖，就在哥廷根皇家科学协会规定期只剩下10年的时候沃尔夫斯凯尔当年遗愿终于实现。1998年第23届国际数学家大会在柏林举行，国际数学联合会还史无前例地颁给怀尔斯菲尔兹特别奖，一个特殊制作的菲尔兹奖银质奖章。1999年，他荣获首届克莱数学研究奖 (Clay Research Award)。2000年，怀尔斯被授勋为爵士。2005年，怀尔斯又荣获有“东方诺贝尔奖”之称的邵逸夫数学科学奖(Shaw Prize)，奖金100万美金。2005年8月29日，安德鲁·怀尔斯第一次踏上中国的土地，这甚至是他第一次来到亚洲。北京大学数学院院长张继平、副院长刘化荣，中科院院士田刚、张恭庆、姜伯驹、丁伟岳、文兰等陪同他参观中国。2016年3月15日，挪威自然科学与文学院宣布将2016年阿贝尔奖(Abel Prize) 授予牛津大学的安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles) 教授，奖金约600万挪威克朗(约465万元人民币)，表彰他令人震惊的费马大定理证明。 ^[6]其他荣誉还包括罗夫·肖克奖 (Rolf Schock Prize)、奥斯特洛斯基奖 (Ostrowski Prize)、英国皇家学会皇家奖章 (Royal Medal of the Royal Society)、美国国家科学院数学奖 (U.S. National Academy of Science’s Award in Mathematics) 等。

社会评价

编辑史上最精彩的一个数学谜题。 ^[7]证明费马大定理的过程是一部数学史。费马大定理起源于三百多年前，挑战人类3个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。这是“20世纪最辉煌的数学成就”。（中科院院士、北大数学院教授姜伯驹，评价安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明） ^[8]

年表

编辑1637年，费马在书本空白处提出费马猜想。1770年，欧拉证明n=3时定理成立1823年，勒让德证明n=5时定理成立。1832年，狄利克雷试图证明n=7失败，但证明 n=14时定理成立。1839年，拉梅证明n=7时定理成立。1850年，库默尔证明2<n<100时除37、59、67三数外定理成立。1955年，范迪维尔以电脑计算证明了 2<n<4002时定理成立。1976年，瓦格斯塔夫以电脑计算证明 2<n<125000时定理成立。1985年，罗瑟以电脑计算证明2<n<41000000时定理成立。1987年，格朗维尔以电脑计算证明了 2<n<101800000时定理成立。1995年，怀尔斯证明 n>2时定理成立。

黎曼猜想、费马大定理、m理论联系在一起

编辑当我们用霍奇猜想 ^[9] 的方法制造几何拓扑超级结构时：一种歧管。这个歧管的整体就是费马大定理， ^[10] 计算这个结构局部就要用黎曼猜想。

1，从四色定理开始

法兰西斯·古德里于1852年提出的猜想，只需要四种颜色为地图着色。这是因为他发现在平面上或者球面上，只能有4个区域两两相连，英国数学家德摩根证明了平面上不存在5个区域两两相连。1974年德国的林格和美国的杨斯证明了在曲面上染色定理，例如，在一个汽车轮胎形状的环面需要7种颜色，因为可以构造7个两两相连的区域，6种颜色肯定不够的；在有两个洞的双环面需要8种颜色，因为可以构造8个两两相连的区域，7种颜色肯定不够的；…参见N色定理.。

2，可以构造无穷多个两两相连区域

现在有两根管子，一个记为1，一个记为2，它们代表两个区域。我们假定所有的管子都是可以随意拉伸和弯曲的。把两根管子端端相连，就是一个汽车轮胎一样的环，它有两个区域，我们再用一根直管子记为3，安在这个环的中间，一头连着区域1，一头连着区域2，现在它是有两个洞的双环了，有三个区域两两相连。
　　现在我们用一个“丁”字型的三叉管，记为区域4，三个端口分别与区域1，区域2，区域3相连。于是现在有4个区域两两相连；　我们再用一根四叉管记为区域5，有4个端口分别与区域1，2，3，4相连，现在有5个区域两两相连。
　　这个步骤可以无限制进行下去，用五叉管，六叉管，…..。构造无穷多个区域，它们都是两两相连的。这种构造方法就是霍奇猜想。把歧管两两相连之间给定距离可以等价转换成为货郎担问题（p=np问题）。

3，图论与数论联系起来

数学家和物理学家把上面这个叫做岐管。
　　区域1，代表第一个素数2;；第二个区域代表第二个素数3；….；第n个区域代表第n个素数。在数论中，最重要的元素就是素数，欧几里得证明了有无穷多个素数，并且它们有一个特点就是两两互素。无穷多个两两互素的素数与无穷多个两两相连区域一一对应。图论与数论联系起来了。我们把这个图的岐管倒过来，就像一个网子，篮球网子。篮球网子是把篮球往里面投。

4，筛子与哥德巴赫猜想

公元前300年古希腊有一个数学家叫做埃拉特斯特尼，他把这个网子当成筛子，把自然数往里面扔，他说凡是合数通过筛子以后就会从网子里面筛掉，留下的是素数，这个就是著名的埃拉特斯特尼筛法。
　　上面这个岐管筛子是把偶数往里面扔，哥德巴赫猜想说，大于4的偶数一个也不会漏出筛子，除了6=3+3以外，其他偶数都是可以在不同的素数区域被拦截。例如8会在区域2也就是素数3和素数5（第三个区域）被拦截；偶数10会在素数3和素数7的两个区域之间被拦截；….。总之，无穷多个偶数都逃不脱这个网子，没有一个偶数可以漏到外面去。

数论与图论已经融合一起了，这个想法叫做朗兰兹纲领。

5，与费马大定理联系起来

　　这个还不算神奇，这个岐管的内部空间我们记为

，外部空间记为

，它有很多洞,可以有无穷多个洞，可以有无穷多个空间维度

，宇宙内外整体记为1，就是说

，这个叫做费马曲线.。费马大定理与哥德巴赫猜想联系起来了。右图，费马定理

=3时的歧管

6，与黎曼猜想联系起来了

数学家考虑的是怎样计算这个岐管上的区域或者计算区域上面的一个点。如果岐管上某一个区域

，在

上的一个点是

，因为这个岐管有无穷多个维度，或者很多维度，要定位这个点，就要考虑它的管壁——实部，还有考虑它的内外空间位置——虚部。 所以，这个点

，

。

是虚数，α表示实部，实部是

，因为这个多维宇宙等于1，岐管属于实部，实部上的点当然是1/2。这个正是黎曼函数

，随意在岐管上画出一条线，都需要黎曼猜想计算。计算虚部需要欧拉公式。 物理学里，真空是能量的“零点”。黎曼猜想与物理学和费马大定理联系起来了。现在大家看到了黎曼猜想直接渗透到几何拓扑。虚部怎么样计算呢？虚部怎么计算呢？岐管内部看成一个圆管，虚部是什么？它至少应该有管道内或者管道外中的一个参数。假设管道截面是一个圆，管道内的截面圆依然是二维平面，在岐管上的一个点，就是一个圆。大家知道欧拉公式吗？

,以

开始，以相对速度

，走了

时间（虚时间），再加1，回到原点（解析延拓）。

(右下图)虚时间是为了对应时间起点（大爆炸）而定义的一个概念。在虚时间这个概念体系里，在比三维更高的维度空间，时间并不是一条直线，而是一个闭合的圆，没有起始也没有终结，宇宙的起点如果源自大爆炸，那在此之前的时间将无法定义。因此，为了解决奇点之前时间应该如何，我们引用到了复数的概念。如果走的速度超过了

，比如4，

。于是：

。欧拉公式：

…….(1).。

…….(2).。

…….(3)。（3）式看似荒唐，其实是虚时间真实的时空穿越，现在的人“

”与过去的人“

” 在同一时空相遇。也可以理解为两个光量子纠缠，只要知道一个就可以知道另外一个。

7，一系列数论命题联合表示m理论

数学家制造代数或者数论的目的是为几何服务，即便最简单的整数也是为离散几何服务。几何拓扑进展是创造代数或者数论的源泉，创造一个新代数结构必须为它找到几何新结构。物理学家认为， ^[11] 宇宙是10维空间或者11维空间，或者26维空间等5个版本。还有物理学家认为有无穷多个维度的空间。他们管这个理论叫做弦理论或者M理论，是把广义相对论与量子理论结合一起的终极理论，霍金说是最后的理论。在弦/m理论的11维空间里， 几何体的拓扑性质同粒子紧密相关。例如，这种粒子几何体有几个洞，决定着粒子世代的数目，在这些卷缩维度的空间里所采取的几何构型决定着弦或者膜能够有什么样的震动模式，从而决定着各种粒子的质量、自旋、以及电荷等各种相互作用的耦合常数。原来，不仅仅自旋和同位旋等内部变量和内部空间都出自这些多维空间的几何学，而且粒子的电荷质量等性质，无一不是从这里产生出来的，不仅仅如此，甚至我们生活本身也通过三维空间和一维时间都是从类似的几何体的构造中生长出来的。 我们生活在高维宇宙的一小片中，大到银河宇宙，小至原子夸克，都是弦线构成的。

阿基米德定律

编辑讨论22上传视频本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。流体静力学的一个重要原理，它指出，浸入静止流体中的物体受到一个浮力，其大小等于该物体所排开的流体重量，方向竖直向上并通过所排开流体的形心。这结论是阿基米德首先提出的，故称阿基米德原理。结论对部分浸入液体中的物体同样是正确的。同一结论还可以推广到气体。中文名阿基米德定律外文名Archimedes principle别    称阿基米德原理表达式F＝γV提出者阿基米德应用学科流体静力学适用领域范围静止液体、气体等适用领域范围经典牛顿力学 ^[1]

目录

1. 1 定义
2. 2 历史
3. 3 适用范围

1. 4 应用实例
2. ▪ 气球
3. ▪ 液体比重计

1. ▪ 排水量
2. ▪ 积云对流

定义

编辑浸入静止流体(气体或液体)中的物体受到一个浮力，其大小等于图1该物体所排开的流体重量，方向竖直向上并通过所排开流体的形心，即F_浮=G_液排=mg_液排=gV_排ρ_液（V_排表述物体排开液体的体积） ^[1-2]

历史

编辑阿基米德发现的浮力原理，奠定了流体静力学的基础。传说希伦王召见阿基米德，让他鉴定纯金王冠是否掺假。他冥思苦想多日，在跨进澡盆洗澡时，从看见水面上升得到启示，作出了关于浮体问题的重大发现，并通过王冠排出的水量解决了国王的疑问。在著名的《论浮体》一书中，他按照各种固体的形状和比重的变化来确定其浮于水中的位置，并且详细阐述和总结了后来闻名于世的阿基米德原理：放在液体中的物体受到向上的浮力，其大小等于物体所排开的液体重量。从此使人们对物体的沉浮有了科学的认识。 ^[3]

适用范围

编辑阿基米德原理适用于全部或部分浸入静止流体的物体，要求物体下表面必须与流体接触（图1）。如果物体的下表面并未全部同流体接触，例如，被水浸没的桥墩、插入海底的沉船、打入湖底的桩子等，在这类情况下，此时水的作用力并不等于原理中所规定的力。如果水相对于物体有明显的流动，此原理也不适用（见伯努利方程）。鱼在水中游动，由于周围的水受到扰动，用阿基米德原理算出的力只是部分值。这些情形要考虑流体动力学的效应。水翼船受到远大于浮力的举力就是动力学效应，所循规律与静力学有所不同。 ^[4]

应用实例

编辑

气球

阿基米德原理可用于解释气球的上升机理：充满轻气体的气球的自重小于它所排开的空气的重量（浮力）。

液体比重计

对部分浸入液体的比重计，它所受到的浮力：F=W=γV 。式中W为比重计的重量，V为浸入液体的体积；γ为液体的比重。若已知W和V，可确定比重γ。

排水量

V_max=m_船/ρ_水由ρ=1,得 V_max=m_船/1简写: V=m即体积常数等于质量常数。合称排水量。

积云对流

阿基米德静浮力可使积云对流得以发展，在稳定层结大气中可以产生重力内波。 ^[5]

15定理

编辑讨论上传视频15定理概念：如果一个二次多项式可以通过变量取整数值而表示出1~15的值，该二次多项式可以通过变量取整数值而表示出所有正整数。中文名15-定理外文名15- theorem得出时间1993年证明人约翰·何顿·康威领    域函数15-定理是由约翰·何顿·康威（John Horton Conway，1937-）和W.A.Schneeberger于1993年证明的定理，内容为：如果一个二次多项式可以通过变量取整数值而表示出1~15的值（更严格的结论是只要表示出1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15）的话（例如

 ），该二次多项式可以通过变量取整数值而表示出所有正整数。15-定理的证明如下：一.定义下述证明中，“形式”指正定二次型，“格”指有整数内积的格，将正定二次型f视为其对应格L(f)的内积形式。并且定义，如果形式（或对应格）代表每个正整数，则该形式通用。如果f不通用，则将形式与以及其对应的格L(f)的逃逸定义为不由f表示的最小正整数。引入格的提升与自动梯格的概念：对形式f以及所有与形式f的范数相等的“逃逸”向量生成的任何格称为非通用格的提升，并且称所有可以通过对零维格进行一系列连续提升而获得的格称为自动梯格。二.维提升零维格的唯一提升是由范数为1的单个向量生成的格，这个格则对应形式

 ，其矩阵（系数矩阵）为[1]，[1]的提升对应于内积矩阵

 ，且有

 ≤2，所以a=0或±1.只有当a取±1时，其为非通用格，因此我们得到两个二维非通用格，它们再次升格可以得到9格非通用格，即

 .对这九个自动梯格升格，得到共207格非通用的四维自动梯格，但如果继续提升，那么会发现并非所有四维自动梯格都是非通用的。实际上，这207格中，只有6个格为非通用格，其余的201个都无法继续提升。通过对这6个非通用的四维自动梯格的提升，一共得到1630个五维梯格。而这些五维梯格恰好都是通用的，也就是说，不存在六维的自动梯格。因此自动梯格是有限的，而且包含1个零维格，2个二维格，9个三维格，207个四维格，1630个五维格，共1850个。三.枚举逃逸对所有这些自动梯格一一进行验证，可以得到九个最小的列向量：

 （逃逸1），

 （逃逸2），

 （逃逸5），

 （逃逸6），

 （逃逸3），

 （逃逸7），

 （逃逸10），

 （逃逸14），

 （逃逸15），分别为九个临界值。也就是说，如果有整系数矩阵的正定二次型表示1，2，3，5，6，7，10，14，15，则可以表示所有正整数。即15-定理成立。

数学定理

A-F

▪ 15定理	▪ 2π定理	▪ Sun-Ni定理	▪ Vizing定理
▪ 阿贝尔定理	▪ 阿贝尔二项式定理	▪ 阿贝尔-鲁菲尼定理	▪ 阿贝尔曲线定理
▪ 阿达马三圆定理	▪ 阿蒂亚-辛格指标定理	▪ 阿尔泽拉-阿斯科利定理	▪ 阿基米德原理
▪ 阿基米德中点定理	▪ 埃尔布朗定理	▪ 艾森斯坦定理	▪ 安达尔定理
▪ 奥尔定理	▪ 巴拿赫不动点定理	▪ 巴拿赫-塔斯基悖论	▪ 贝尔纲定理
▪ 贝亚蒂定理	▪ 贝叶斯定理	▪ 贝祖定理	▪ 本迪克森-杜拉克定理
▪ 本原元定理	▪ 闭图像定理	▪ 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理	▪ 伯恩斯坦定理
▪ 伯特兰-切比雪夫定理	▪ 博苏克-乌拉姆定理	▪ 博特周期性定理	▪ 不动点定理
▪ 布尔素理想定理	▪ 布朗定理	▪ 布劳威尔不动点定理	▪ 布列安桑定理
▪ 采样定理	▪ 陈氏定理	▪ 垂径定理	▪ 达布中值定理
▪ 大数定律	▪ 代数基本定理	▪ 单调收敛定理	▪ 单值化定理
▪ 等周定理	▪ 狄利克雷定理	▪ 迪尼定理	▪ 笛卡儿定理
▪ 笛卡儿符号法则	▪ 笛沙格定理	▪ 棣莫弗定理	▪ 棣莫弗-拉普拉斯定理
▪ 多项式定理	▪ 多项式余数定理	▪ 二次互反律	▪ 二项式定理
▪ 法图引理	▪ 法伊特-汤普森定理	▪ 凡·奥贝尔定理	▪ 反函数定理
▪ 范德瓦尔登定理	▪ 费马大定理	▪ 费马多边形数定理	▪ 费马平方和定理
▪ 费马小定理	▪ 芬斯勒-哈德维格尔定理	▪ 弗罗贝尼乌斯定理	▪ 辐角原理

G-L

▪ 富比尼定理	▪ 高斯-卢卡斯定理	▪ 高斯-马尔可夫定理	▪ 高斯散度定理
▪ 哥德巴赫-欧拉定理	▪ 哥德尔不完备定理	▪ 哥德尔完备性定理	▪ 鸽巢原理
▪ 格尔丰德-施奈德定理	▪ 格林公式	▪ 共轭复根定理	▪ 勾股定理
▪ 古尔丁定理	▪ 古斯塔夫森定理	▪ 谷山-志村定理	▪ 哈恩-巴拿赫定理
▪ 海涅-博雷尔定理	▪ 海涅-康托尔定理	▪ 亥姆霍兹定理	▪ 赫尔德定理
▪ 黑林格-特普利茨定理	▪ 胡尔维兹定理	▪ 蝴蝶定理	▪ 华勒斯-波埃伊-格维也纳定理
▪ 霍普夫-里诺定理	▪ 积分第二中值定理	▪ 积分第一中值定理	▪ 基尔霍夫定理
▪ 吉洪诺夫定理	▪ 极值定理	▪ 夹挤定理	▪ 嘉当-迪厄多内定理
▪ 角平分线定理	▪ 介值定理	▪ 紧致性定理	▪ 卷积定理
▪ 绝妙定理	▪ 卡迈克尔定理	▪ 卡诺定理	▪ 开世定理
▪ 开映射定理	▪ 凯莱定理	▪ 凯莱-哈密顿定理	▪ 戡根定理
▪ 康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理	▪ 康托尔定理	▪ 柯西定理	▪ 柯西积分定理
▪ 柯西-利普希茨定理	▪ 柯西中值定理	▪ 可靠性定理	▪ 克莱姆法则
▪ 克莱尼不动点定理	▪ 克罗内克定理	▪ 克罗内克-韦伯定理	▪ 克纳斯特-塔斯基定理
▪ 空间分割定理	▪ 拉东-尼科迪姆定理	▪ 拉格朗日定理	▪ 拉格朗日定理
▪ 拉格朗日中值定理	▪ 拉克斯-米尔格拉姆定理	▪ 拉姆齐定理	▪ 勒贝格控制收敛定理
▪ 勒贝格微分定理	▪ 勒让德定理	▪ 勒文海姆-斯科伦定理	▪ 雷维收敛定理
▪ 黎曼级数定理	▪ 黎曼-勒贝格定理	▪ 黎曼-罗赫定理	▪ 黎曼映射定理
▪ 里斯表示定理	▪ 良序定理	▪ 林德曼-魏尔斯特拉斯定理	▪ 零一律
▪ 刘维尔定理	▪ 留数定理	▪ 六指数定理	▪ 卢津定理
▪ 吕利耶定理	▪ 罗尔定理	▪ 罗斯定理

以上定理按中文名拼音首字母顺序排列

M-R

▪ 马勒定理	▪ 迈尔斯定理	▪ 迈希尔-尼罗德定理	▪ 毛球定理
▪ 梅涅劳斯定理	▪ 米迪定理	▪ 密克定理	▪ 闵可夫斯基定理
▪ 莫尔-马歇罗尼定理	▪ 莫雷角三分线定理	▪ 莫雷拉定理	▪ 拿破仑定理
▪ 纳什嵌入定理	▪ 鸟头定理	▪ 牛顿定理	▪ 欧几里得定理
▪ 欧拉定理	▪ 欧拉定理	▪ 欧拉旋转定理	▪ 帕普斯定理
▪ 帕塞瓦尔定理	▪ 帕斯卡定理	▪ 排容原理	▪ 庞加莱-本迪克松定理
▪ 庞加莱-霍普夫定理	▪ 披萨定理	▪ 皮卡定理	▪ 皮克定理
▪ 皮亚诺存在性定理	▪ 婆罗摩笈多定理	▪ 普罗斯定理	▪ 谱定理
▪ 齐肯多夫定理	▪ 切除定理	▪ 切消定理	▪ 曲线基本定理
▪ 儒歇定理	▪ 若尔当曲线定理

以上定理按中文名拼音首字母顺序排列

S-Z

▪ 萨维奇定理	▪ 塞瓦定理	▪ 三次互反律	▪ 射影定理
▪ 施图姆定理	▪ 舒尔正交关系	▪ 斯坦纳-雷姆斯定理	▪ 斯通布尔代数表示定理
▪ 斯图尔特定理	▪ 斯托尔兹-切萨罗定理	▪ 斯托克斯定理	▪ 四顶点定理
▪ 四平方和定理	▪ 四色定理	▪ 素数定理	▪ 算术基本定理
▪ 泰博定理	▪ 泰勒公式	▪ 泰勒斯定理	▪ 泰勒中值定理
▪ 同构基本定理	▪ 图厄定理	▪ 图兰定理	▪ 托勒密定理
▪ 威尔逊定理	▪ 微积分基本定理	▪ 韦伯定理	▪ 韦达定理
▪ 维纳一辛钦	▪ 维维亚尼定理	▪ 魏尔施特拉斯分解定理	▪ 魏尔斯特拉斯逼近定理
▪ 沃尔斯滕霍尔姆定理	▪ 无限猴子定理	▪ 五边形数定理	▪ 五色定理
▪ 西尔维斯特惯性定理	▪ 西尔维斯特—加莱定理	▪ 西罗定理	▪ 西姆松定理
▪ 线性代数基本定理	▪ 线性同余定理	▪ 演绎定理	▪ 叶戈罗夫定理
▪ 因式定理	▪ 隐函数定理	▪ 友谊定理	▪ 有理根定理
▪ 有限简单群分类	▪ 有噪信道编码定理	▪ 余弦定理	▪ 圆幂定理
▪ 詹姆斯定理	▪ 正切定理	▪ 正弦定理	▪ 秩-零化度定理
▪ 中国剩余定理	▪ 中线定理	▪ 中心极限定理	▪ 中值定理
▪ 主轴定理	▪ 祖暅原理	▪ 最大流最小割定理	▪ 最大模原理

蝴蝶定理

编辑讨论上传视频蝴蝶定理（Butterfly Theorem），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年，由W.G.霍纳提出证明。而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形像一只蝴蝶。这个定理的证法不胜枚举，至今仍然被数学爱好者研究，在考试中时有各种变形。中文名蝴蝶定理外文名Butterfly Theorem别    称蝴蝶原理表达式XM=MY提出者W.G.霍纳提出时间1815年应用学科科学，数学，物理等适用领域范围理科，几何适用领域范围高等数学 验证推导霍纳证法等

目录

1. 1 定理定义
2. 2 验证推导
3. ▪ 霍纳证法
4. ▪ 作图法
5. ▪ 对称法
6. ▪ 面积法

1. ▪ 帕斯卡证法
2. ▪ 射影法
3. 3 定理推广
4. ▪ 1.蝴蝶定理的圆外形式：
5. ▪ 2.在圆锥曲线中：

1. ▪ 3.在筝形中
2. ▪ 4.坎迪定理
3. 4 发展历史
4. 5 定理意义

定理定义

编辑蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
蝴蝶定理的证明该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广（详见定理推广）：1. M作为圆内弦的交点是不必要的，可以移到圆外。2. 圆可以改为任意圆锥曲线。3. 将圆变为一个筝形，M为对角线交点。4. 去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”， 不为中点时满足:

 ，这对1, 2均成立。^[1-2]

验证推导

编辑

霍纳证法

过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，连接ON，OM，OS，SL，ST，易证明△ESD∽△CSF证法1:霍纳证法∴DS/FS=DE/FC根据垂径定理得：DL=DE/2，FT=FC/2∴DS/FS=DL/FT又∵∠D=∠F∴△DSL∽△FST∴∠SLD=∠STF即∠SLN=∠STM∵S是AB的中点所以OS⊥AB∴∠OSN=∠OLN=90°∴O，S，N，L四点共圆，同理，O，T，M，S四点共圆∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON∴∠SON=∠SOM∵OS⊥AB∴MS=NS

作图法

从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X’和X”。类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y’和Y”。证法2(2张)（证明过程见图片）证明方法二

对称法

（证明过程见图片）证法3:对称证法

面积法

（证明过程见图片）【此方法也可证明蝴蝶定理的一般形式：坎迪定理】证法4:面积法(2张)

帕斯卡证法

连接CO、EO并延长分别交圆O于I、J，连接IF、DJ交于K，连接GK、HK。由帕斯卡定理得：M、O、K共线证法5:帕斯卡定理证法(2张)∵M为AB中点 ∴KM⊥AB∴∠GMK=∠HMK=90°又∵CI、EJ为⊙O直径∴∠GFK=∠HDK=90°又∵∠GMK=∠HMK=90°∴∠GMK+∠GFK=∠HMK+∠HDK=90°+90°=180°∴G、F、K、M共圆，H、D、K、M共圆∴∠GKM=∠GFM，∠MKH=∠MDH又∵∠GFM=∠MDH∴∠GKM=∠MKH又∵∠GMK=∠HMK=90°∴△GMK≡△HMK（ASA）∴GM=MH

射影法

1.构造特殊情况：如右图1，A’B’、C’D’、M’N’为⊙O’内三条直径，A’D’∩M’N’=P’，B’C’∩M’N’=Q’，则由圆中心对称性知P’O’=Q’O’.2.中心投影：在不属于⊙O’所在平面的空间上任取一点T作为投影中心，用平行于直线M’N’的平面截影，则圆O’被射影为椭圆，线段M’N’被射影为与之平行的M”N”，如图2，则对应存在P”O”=Q”O”.3.仿射：将图2的椭圆仿射为圆，如图3，由仿射不变性知PO=QO.

定理推广

编辑该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：

1.蝴蝶定理的圆外形式：

圆外蝴蝶定理如图，延长圆O中两条弦AB与CD交于一点M，过点M做OM垂线，垂线与CB和AD的延长线交于E、F，则可得出ME=MF（证明方法可参考蝴蝶定理的证法2、3、4）

2.在圆锥曲线中：

通过射影几何，我们可以非常容易的将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线，甚至退化到两条相交直线的情况）。圆锥曲线C上弦PQ的中点为M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。而通过投影变换可以非常容易证明这个定理。射影几何里面关于投影变换有一个重要结论，对于平面上任意两个圆锥曲线C1,C2.任意指定C1内部一个点A1和C1上面一个点B1,另外任意指定C2内部一个点A2和C2上面一个点B2,存在唯一一个投影变换将曲线C1变换到C2而且A1变换到A2,B1变换到B2.由此对于本题，我们可以通过投影变换将C1变换成一个圆M，而将弦PQ的中点M变换成这个圆的圆心。在此变换以后，弦AB和CD都是圆M的直径而且四边形ACBD是圆M内接矩形，PQ也是一条直径，由对称性显然得出投影变换后M为X,Y的中点。又因为变换前后M都是线段PQ的中点，我们可以得出在直线PQ上这个变换是仿射变换，所以变换前M也是XY的中点。例题：椭圆中的蝴蝶定理如图一，椭圆的长轴A₁、A₂与x轴平行，短轴B₁B₂在y轴上，中心为M(o，r)（b>r>0）。（I）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率（II）直线y=k₁x交椭圆于两点C（x₁,y₁）,D(x₂，y₂)（y₂>0）；直线y=k₂x交椭圆于两点G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）（y₄>0）。求证：k₁x₁x₂/(x₁+x₂)=k₂x₃x₄/(x₃+x₄)（III）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。求证： | OP | = | OQ |。（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）从x向AM和DM作垂线，设垂足分别为X’和X”。类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y’和Y’设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+证明过程图片x4)为①式，两边同取倒数，得为1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为 ②式，两边同取倒数，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’将①’两边同乘以k1·k2，即得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4它与②’完全一样。这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。纵观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数方程方法处理几何问题的作用与威力。

3.在筝形中

筝形中命题证明在筝形ABCD中，AB=AD，BC=CD，过直线BD上一点P任作两条直线，一条与直线 AD、BC 交于E、F，另一条与直线 AB、CD 分别交于 G、H，直线 GF、EH 分别与 BD 交于 I、J。则

特别地，当点 P 为 BD 中点时，有 PI=PJ。此时本题为1990年中国中学生数学冬令营选拔考试试题，被称为筝形蝴蝶定理。证明如图。 ^[3]

4.坎迪定理

去掉中点的条件，结论变为一个一般关于向量的比例式，成为「坎迪定理」，这对2，3均成立 ^[1]坎迪定理

发展历史

编辑这个命题最早作为一个征解问题出现于公元1815年英国的一本杂志《男士日记》（Gentleman’s Diary）39-40页（P39-40）上。有意思的是，直到1972年以前，人们的证明都并非初等，且十分繁琐。这篇文章登出的当年，英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳（他发明了多项式方程近似根的霍纳法）给出了第一个证明，完全是初等的；另一个证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出。另外一种早期的证明由M.布兰德（Mile Brand）1827年的一书中给出。最为简洁的证法是射影几何的证法，由英国的J·开世在”A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid”给出，只有一句话，用的是线束的交比。“蝴蝶定理”这个名称最早出现于《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。1981年，Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）用解析几何的一种比较简单的方法，利用直线束，二次曲线束。 ^[1-2]1990年，CMO出现了筝形蝴蝶定理。 ^[4]

定理意义

编辑蝴蝶定理是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一。这个定理的证法不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。 ^[1-2]词条图册更多图册词条图片(12)证法2(2)证法4:面积法(2)证法5:帕斯卡定…(2)1/2

数学定理

A-F

▪ 15定理	▪ 2π定理	▪ Sun-Ni定理	▪ Vizing定理
▪ 阿贝尔定理	▪ 阿贝尔二项式定理	▪ 阿贝尔-鲁菲尼定理	▪ 阿贝尔曲线定理
▪ 阿达马三圆定理	▪ 阿蒂亚-辛格指标定理	▪ 阿尔泽拉-阿斯科利定理	▪ 阿基米德原理
▪ 阿基米德中点定理	▪ 埃尔布朗定理	▪ 艾森斯坦定理	▪ 安达尔定理
▪ 奥尔定理	▪ 巴拿赫不动点定理	▪ 巴拿赫-塔斯基悖论	▪ 贝尔纲定理
▪ 贝亚蒂定理	▪ 贝叶斯定理	▪ 贝祖定理	▪ 本迪克森-杜拉克定理
▪ 本原元定理	▪ 闭图像定理	▪ 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理	▪ 伯恩斯坦定理
▪ 伯特兰-切比雪夫定理	▪ 博苏克-乌拉姆定理	▪ 博特周期性定理	▪ 不动点定理
▪ 布尔素理想定理	▪ 布朗定理	▪ 布劳威尔不动点定理	▪ 布列安桑定理
▪ 采样定理	▪ 陈氏定理	▪ 垂径定理	▪ 达布中值定理
▪ 大数定律	▪ 代数基本定理	▪ 单调收敛定理	▪ 单值化定理
▪ 等周定理	▪ 狄利克雷定理	▪ 迪尼定理	▪ 笛卡儿定理
▪ 笛卡儿符号法则	▪ 笛沙格定理	▪ 棣莫弗定理	▪ 棣莫弗-拉普拉斯定理
▪ 多项式定理	▪ 多项式余数定理	▪ 二次互反律	▪ 二项式定理
▪ 法图引理	▪ 法伊特-汤普森定理	▪ 凡·奥贝尔定理	▪ 反函数定理
▪ 范德瓦尔登定理	▪ 费马大定理	▪ 费马多边形数定理	▪ 费马平方和定理
▪ 费马小定理	▪ 芬斯勒-哈德维格尔定理	▪ 弗罗贝尼乌斯定理	▪ 辐角原理

三角函数公式表

三角函数公式大全 

三角函数定义

把角度θ作为自变量，在直角坐标系里画个半径为1的圆（单位圆），然后角的一边与X轴重合，顶点放在圆心，另一边作为一个射线，肯定与单位圆相交于一点。这点的坐标为(x,y)。

sin(θ)=y;

cos(θ)=x;

tan(θ)=y/x;

三角函数公式大全

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

tan2A = 2tanA/(1-tan² A)

Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A = Cos^2 A–Sin² A

=2Cos² A—1

=1—2sin^2 A

三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)³;

cos3A = 4(cosA)³ -3cosA

tan3a = tan a • tan(π/3+a)• tan(π/3-a)

半角公式

sin(A/2) = √{(1–cosA)/2}

cos(A/2) = √{(1+cosA)/2}

tan(A/2) = √{(1–cosA)/(1+cosA)}

cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)} ?

tan(A/2) = (1–cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

和差化积

sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

积化和差

sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]

cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]

诱导公式

sin(-a) = -sin(a)

cos(-a) = cos(a)

sin(π/2-a) = cos(a)

cos(π/2-a) = sin(a)

sin(π/2+a) = cos(a)

cos(π/2+a) = -sin(a)

sin(π-a) = sin(a)

cos(π-a) = -cos(a)

sin(π+a) = -sin(a)

cos(π+a) = -cos(a)

tgA=tanA = sinA/cosA

万能公式

sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]²}

cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]²}

tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}

其它公式

a•sin(a)+b•cos(a) = [√(a²+b²)]*sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]

a•sin(a)-b•cos(a) = [√(a²+b²)]*cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]

1+sin(a) = [sin(a/2)+cos(a/2)]²;

1-sin(a) = [sin(a/2)-cos(a/2)]²;

其他非重点三角函数

csc(a) = 1/sin(a)

sec(a) = 1/cos(a)

双曲函数

sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2

cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2

tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）= sinα

cos（2kπ＋α）= cosα

tan（2kπ＋α）= tanα

cot（2kπ＋α）= cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）= -sinα

cos（π＋α）= -cosα

tan（π＋α）= tanα

cot（π＋α）= cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（-α）= -sinα

cos（-α）= cosα

tan（-α）= -tanα

cot（-α）= -cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π-α）= sinα

cos（π-α）= -cosα

tan（π-α）= -tanα

cot（π-α）= -cotα

公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π-α）= -sinα

cos（2π-α）= cosα

tan（2π-α）= -tanα

cot（2π-α）= -cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2+α）= cosα

cos（π/2+α）= -sinα

tan（π/2+α）= -cotα

cot（π/2+α）= -tanα

sin（π/2-α）= cosα

cos（π/2-α）= sinα

tan（π/2-α）= cotα

cot（π/2-α）= tanα

sin（3π/2+α）= -cosα

cos（3π/2+α）= sinα

tan（3π/2+α）= -cotα

cot（3π/2+α）= -tanα

sin（3π/2-α）= -cosα

cos（3π/2-α）= -sinα

tan（3π/2-α）= cotα

cot（3π/2-α）= tanα

(以上k∈Z)

这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用

A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =

√{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A² +B²; +2ABcos(θ-φ)} }

√表示根号,包括{……}中的内容

三角函数知识点汇总

1.特殊角的三角函数值：

2．角度制与弧度制的互化：

3.弧长及扇形面积公式

弧长公式： 扇形面积公式: 

—-是圆心角且为弧度制。 r—–是扇形半径

4.任意角的三角函数

设是一个任意角，它的终边上一点p（x,y）,

(1)正弦 余弦 正切

(2)各象限的符号：

5.同角三角函数的基本关系：

（1）平方关系：

（2）商数关系：

6.诱导公式：记忆口诀：把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。

口诀：函数名称不变，符号看象限．

8、三角函数公式：

两角和与差的三角函数关系

倍角公式

降幂公式：

升幂公式：

9．解三角形

正弦定理 ：

余弦定理：

三角形面积定理.

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：