费马大定理

（数学定理定律）

编辑讨论21 上传视频本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶·德·费马提出。他断言当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。德国人沃尔夫斯凯尔曾宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。费马大定理被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年，英国数学家安德鲁·怀尔斯宣布自己证明了费马大定理。费马大定理与黎曼猜想已经成为广义相对论和量子力学融合的m理论几何拓扑载体。中文名费马大定理外文名Fermat’s Last Theorem别称费马最后的定理表达式x^n + y^n = z^n（n >2时，没有正整数解）提出者皮耶·德·费马提出时间1637年左右应用学科数学代数证明者安德鲁·怀尔斯（英国）证明时间1995年彻底证明

猜想提出

编辑费马大约在1637年左右，法国学者费马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（拉丁文原文: “Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.”）由于费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，涉及许多数学手段，推动了数论的发展。

猜想内容

编辑当整数

时，关于

的方程

没有正整数解。

历史研究

编辑

接力证明

1753年瑞士著名数学家欧拉，在写给哥德巴赫的信中说，他证明了n=3时的费马猜想，1770年其证明发表在《代数指南》一书中，方法是“无限下降法”和形如

数系的唯一因子分解定理，这一方法也被后人多次引用。^[1]1816年巴黎科学院把费马猜想转化简化归结为n是奇素数的情况，认为费马猜想应该成立，并称之为费马大定理（以区别费马关于同余的小定理），并为证明者设立大奖和奖章，费马大定理之谜从此进一步风靡全球。费马自己证明了n=4的情形。十九世纪初法国自学成才的女数学家热尔曼证明了当n和2n+1都是素数时费马大定理的反例x，y，z至少有一个是n整倍数。在此基础上，1825年德国数学家狄利克雷和法国数学家勒让德分别独立证明费马大定理在n=5时成立，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理。1839年，法国数学家拉梅对热尔曼方法作了进一步改进，并证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合得很紧密的巧妙工具，只是难以推广到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明，但没有成功。1844年，库默尔提出了“理想数”概念，他证明了：对于所有小于100的素指数n，费马大定理成立，此一研究告一阶段。但对一般情况，在猜想提出的头二百年内数学家们仍对费马大定理一筹莫展。1847年，巴黎科学院上演戏剧性一幕，当时著名数学家拉梅和柯西先后宣布自己基本证明费马大定理，拉梅还声称证明引用了刘维尔复数系中的唯一因子分解定理，刘维尔则说这一定理源自欧拉和高斯的思想。大数学家都被扯入其中，似乎结论十分可靠。就在此时刘维尔宣读了德国数学家库默尔的来信，明确指出证明中的复数系的唯一因子分解定理并不普遍成立，于是拉梅和柯西的证明都是错的。大约在1850年前后，高斯的学生、德国数学家库默尔看到唯一因子分解是否成立是欧拉、热尔曼创立的试图证明费马大定理的方法关键，于是他创立了一种“理想数环”理论，据说这一思想也受其老师高斯启发，高斯表面上声称对费马大定理不感兴趣，实际上对n=7久思不解。学生库默尔运用独创的“理想素数”理论，一下子证明了100以内除37、59、67以外的所有奇数费马大定理都成立，使证明问题取得了第一次重大突破。库默尔之后近半个世纪，费马大定理证明都停滞不前，直到二十世纪前期大数学家勒贝格向巴黎科学院提交了一个费马大定理的证明论稿，由于勒贝格当时的权威声望，大家都以为这下问题解决了，但经过广泛传阅其证明稿件，人们遗憾地发现大数学家的分析证明还是错的。

悬赏求证

1908年，哥廷根皇家科学协会公布沃尔夫斯凯尔奖：凡在2007年9月13日前解决费马大定理者将获得100000马克奖励。提供该奖者沃尔夫斯凯尔是德国实业家，年轻时曾为情所困决意在午夜自杀，但在临自杀前读到库默尔论述柯西和拉梅证明费马定理的错误让他情不自禁地计算到天明，设定自杀时间过了，他也放不下问题的证明，数学让他重生并后来成为大富豪，1908年这位富豪去世前，遗嘱将其一半遗产捐赠设奖，以谢其救命之恩。从此世界上每年都会有成千上万人宣称证明了费马大定理，但全部都是错的，一些数学权威机构，不得不预写证明否定书。

莫德尔猜想

1922年，英国数学家莫德尔提出一个著名猜想，人们叫做莫德尔猜想．按其最初形式，这个猜想是说，任一不可约、有理系数的二元多项式，当它的“亏格”大于或等于2时，最多只有有限个解．记这个多项式为f(x，y)，猜想便表示：最多存在有限对数偶xi，yi∈Q，使得f(xi，yi)=0。后来，人们把猜想扩充到定义在任意数域上的多项式，并且随着抽象代数几何的出现，又重新用代数曲线来叙述这个猜想了。而费马多项式

没有奇点，其亏格为

。当

时，费马多项式满足猜想的条件。因此，如果莫德尔猜想成立，那么费马大定理中的方程

本质上最多有有限多个整数解。二战后随着计算机的出现，大量的计算已不再成为问题。借助计算机的帮助，数学家们对500以内，然后在1000以内，再是10000以内的值证明了费马大定理，到80年代，这个范围提高到25000，然后是400万以内。1983年，德国数学家法尔廷斯证明了莫德尔猜想，从而翻开了费马大定理研究的新篇章．法尔廷斯也因此获得1986年菲尔兹奖。

谷山丰猜想

1955年，日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线与另一类数学家们了解更多的曲线——模曲线之间存在着某种联系；谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓“谷山—志村猜想”，这个猜想说明了：有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。这个很抽象的猜想使一些学者搞不明白，但它又使“费马大定理”的证明向前迈进了一步。1958年英国数学家Birch和Swinnerton–Dyer构造了椭圆曲线E的L（E，s）函数，他们对该函数在s=1处的零点与椭圆曲线E上的有理点关系给出了一个简称BSD猜想。1984年，德国数学家弗雷在德国小城奥伯沃尔法赫的一次数论研讨会上宣称：假如费马大定理不成立，则由费马方程可构造一个椭圆曲线，它不可被模形式化（一个命题：假定“费马大定理”不成立，即存在一组非零整数

使得

，那么用这组数构造出的形如

乘以

的椭圆曲线，不可能是模曲线。），也就是说谷山—志村猜想将不成立。但弗雷构造的所谓“弗雷曲线”不可模形式化也说不清具体证明细节，因此也只是猜想，被称为“弗雷命题”，弗雷命题如得证，费马大定理就与谷山—志村猜想等价。1986年美国加州大学伯克利分校的肯·里贝特教授，为了证明弗雷命题已经奋斗了十八个月，曾亲耳听到弗雷当年演讲的里贝特深信自己能证明弗雷命题，但久攻未克，这年夏天哈佛大学教授巴里·梅袓尔来伯克利访问并参加国际数学家大会，有一次里贝特与他一起喝咖啡，便研讨起弗雷命题，梅袓尔的一个提醒让里贝特恍然大悟，里贝特随即完成了弗雷命题的证明，并当即在这届国际数学家大会内外传开。世界数学界为之兴奋。

证明完成

1986年，英国数学家安德鲁·怀尔斯听到里贝特证明弗雷命题后，感到攻克费马大安德鲁·怀尔斯定理到了最后攻关阶段，并且这刚好是他的研究领域，他开始放弃所有其它活动，精心梳理有关领域的基本理论，为此准备了一年半时间把椭圆曲线与模形式通过伽罗瓦表示方法“排队”。接下来的要将两种“排队”序列对应配对，这一步他两年无进展。此时他读博时学的岩泽理论一度取得实效，到1991年他之前的导师科茨告诉他有位叫弗莱切的学生用苏联数学家科利瓦金的方法研究椭圆曲线，这一方法使其工作有重大进展。1993年6月在剑桥牛顿学院要举行一个名为“L函数和算术”的学术会议，组织者之一正是怀尔斯的博士导师科茨，于是在1993年6月21日到23日怀尔斯被特许在该学术会上以“模形式、椭圆曲线与伽罗瓦表示”为题，分三次作了演讲。听完演讲人们意识到谷山—志村猜想已经证明。由此把法尔廷斯证明的莫德尔猜想、肯·里贝特证明的弗雷命题和怀尔斯证明的谷山—志村猜想联合起来就可说明费马大定理成立。其实这三个猜想每一个都非常困难，问题是怀尔斯的最后证明，他变为完成费马大定理证明的最后一棒。1993年6月23日从剑桥牛顿学院传出费马大定理被证明之后，世界媒体铺天盖地般报道了该喜讯。但此刻数学界反倒十分冷静，明确指出论证还需仔细审核，因为历史上曾多少次宣布证明但后来被查证错误。怀尔斯的证明被分为6个部分分别由6人审查，其中由凯兹负责的第三部分查出关于欧拉系的构造有严重缺陷，使科利瓦金—弗莱切方法不能对它适用，怀尔斯对此无能为力，1993年12月怀尔斯公开承认证明有问题，但表示很快会补正。一时间怀尔斯的证明被认为是历史上拉梅、柯西、勒贝格、里贝特（里贝特也曾称证明了谷山—志村猜想）错误证明的又一例子。1994年1月怀尔斯邀请剑桥大学讲师理查德·泰勒到普林斯顿帮他完善科利瓦金—弗莱切方法解决问题，但整整8个月过去，问题没有解决。泰勒准备再过一个月后回剑桥，然后怀尔斯正式公布手稿，承认证明失败，1994年9月19日怀尔斯想自己证明失败原因该怎么写，回顾自己是先用岩泽理论未能突破而后用科利瓦金—弗莱切方法，又对该法一类特殊欧拉系出了问题，这样一想，突然又想到何不再用岩泽理论结合科利瓦金—弗莱切方法试试？问题解法就是这样，怀尔斯绝处逢生，修补了漏洞。1994年10月25日11点4分11秒，怀尔斯通过他以前的学生、美国俄亥俄州立大学教授卡尔·鲁宾向世界数学界发送了费马大定理的完整证明邮件，包括一篇长文“模形椭圆曲线和费马大定理”，作者安德鲁·怀尔斯。另一篇短文“某些赫克代数的环理论性质”作者理查德·泰勒和安德鲁·怀尔斯。至此费马大定理得证。^[2]1995年，他们把证明过程发表在《数学年刊》（Annals of Mathematics）第141卷上，证明过程包括两篇文章，共130页，占满了全卷，题目分别为Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem^[3] （模形椭圆曲线和费马大定理）以及Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras（某些赫克代数的环理论性质）^[4] 。^[5]

证明者简介

编辑安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles），英国著名数学家、牛津大学教授、美国科学院外籍院士。现在任教于英国牛津大学。1996年3月，怀尔斯获得沃尔夫奖(Wolf Prize)和5万美金。1996年6月，当选为美国国家科学院外籍院士并获该科学院数学奖；1997年6月27日，怀尔斯获得沃尔夫斯凯尔10万马克悬赏大奖，就在哥廷根皇家科学协会规定期只剩下10年的时候沃尔夫斯凯尔当年遗愿终于实现。1998年第23届国际数学家大会在柏林举行，国际数学联合会还史无前例地颁给怀尔斯菲尔兹特别奖，一个特殊制作的菲尔兹奖银质奖章。1999年，他荣获首届克莱数学研究奖 (Clay Research Award)。2000年，怀尔斯被授勋为爵士。2005年，怀尔斯又荣获有“东方诺贝尔奖”之称的邵逸夫数学科学奖(Shaw Prize)，奖金100万美金。2005年8月29日，安德鲁·怀尔斯第一次踏上中国的土地，这甚至是他第一次来到亚洲。北京大学数学院院长张继平、副院长刘化荣，中科院院士田刚、张恭庆、姜伯驹、丁伟岳、文兰等陪同他参观中国。2016年3月15日，挪威自然科学与文学院宣布将2016年阿贝尔奖(Abel Prize) 授予牛津大学的安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles) 教授，奖金约600万挪威克朗(约465万元人民币)，表彰他令人震惊的费马大定理证明。^[6]其他荣誉还包括罗夫·肖克奖 (Rolf Schock Prize)、奥斯特洛斯基奖 (Ostrowski Prize)、英国皇家学会皇家奖章 (Royal Medal of the Royal Society)、美国国家科学院数学奖 (U.S. National Academy of Science’s Award in Mathematics) 等。

社会评价

编辑史上最精彩的一个数学谜题。^[7]证明费马大定理的过程是一部数学史。费马大定理起源于三百多年前，挑战人类3个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。这是“20世纪最辉煌的数学成就”。（中科院院士、北大数学院教授姜伯驹，评价安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明）^[8]

年表

编辑1637年，费马在书本空白处提出费马猜想。1770年，欧拉证明n=3时定理成立1823年，勒让德证明n=5时定理成立。1832年，狄利克雷试图证明n=7失败，但证明 n=14时定理成立。1839年，拉梅证明n=7时定理成立。1850年，库默尔证明2<n<100时除37、59、67三数外定理成立。1955年，范迪维尔以电脑计算证明了 2<n<4002时定理成立。1976年，瓦格斯塔夫以电脑计算证明 2<n<125000时定理成立。1985年，罗瑟以电脑计算证明2<n<41000000时定理成立。1987年，格朗维尔以电脑计算证明了 2<n<101800000时定理成立。1995年，怀尔斯证明 n>2时定理成立。

黎曼猜想、费马大定理、m理论联系在一起

编辑当我们用霍奇猜想^[9] 的方法制造几何拓扑超级结构时：一种歧管。这个歧管的整体就是费马大定理，^[10] 计算这个结构局部就要用黎曼猜想。

1，从四色定理开始

法兰西斯·古德里于1852年提出的猜想，只需要四种颜色为地图着色。这是因为他发现在平面上或者球面上，只能有4个区域两两相连，英国数学家德摩根证明了平面上不存在5个区域两两相连。1974年德国的林格和美国的杨斯证明了在曲面上染色定理，例如，在一个汽车轮胎形状的环面需要7种颜色，因为可以构造7个两两相连的区域，6种颜色肯定不够的；在有两个洞的双环面需要8种颜色，因为可以构造8个两两相连的区域，7种颜色肯定不够的；…参见N色定理.。

2，可以构造无穷多个两两相连区域

现在有两根管子，一个记为1，一个记为2，它们代表两个区域。我们假定所有的管子都是可以随意拉伸和弯曲的。把两根管子端端相连，就是一个汽车轮胎一样的环，它有两个区域，我们再用一根直管子记为3，安在这个环的中间，一头连着区域1，一头连着区域2，现在它是有两个洞的双环了，有三个区域两两相连。
　　现在我们用一个“丁”字型的三叉管，记为区域4，三个端口分别与区域1，区域2，区域3相连。于是现在有4个区域两两相连；　我们再用一根四叉管记为区域5，有4个端口分别与区域1，2，3，4相连，现在有5个区域两两相连。
　　这个步骤可以无限制进行下去，用五叉管，六叉管，…..。构造无穷多个区域，它们都是两两相连的。这种构造方法就是霍奇猜想。把歧管两两相连之间给定距离可以等价转换成为货郎担问题（p=np问题）。

3，图论与数论联系起来

数学家和物理学家把上面这个叫做岐管。
　　区域1，代表第一个素数2;；第二个区域代表第二个素数3；….；第n个区域代表第n个素数。在数论中，最重要的元素就是素数，欧几里得证明了有无穷多个素数，并且它们有一个特点就是两两互素。无穷多个两两互素的素数与无穷多个两两相连区域一一对应。图论与数论联系起来了。我们把这个图的岐管倒过来，就像一个网子，篮球网子。篮球网子是把篮球往里面投。

4，筛子与哥德巴赫猜想

公元前300年古希腊有一个数学家叫做埃拉特斯特尼，他把这个网子当成筛子，把自然数往里面扔，他说凡是合数通过筛子以后就会从网子里面筛掉，留下的是素数，这个就是著名的埃拉特斯特尼筛法。
　　上面这个岐管筛子是把偶数往里面扔，哥德巴赫猜想说，大于4的偶数一个也不会漏出筛子，除了6=3+3以外，其他偶数都是可以在不同的素数区域被拦截。例如8会在区域2也就是素数3和素数5（第三个区域）被拦截；偶数10会在素数3和素数7的两个区域之间被拦截；….。总之，无穷多个偶数都逃不脱这个网子，没有一个偶数可以漏到外面去。

数论与图论已经融合一起了，这个想法叫做朗兰兹纲领。

5，与费马大定理联系起来

　　这个还不算神奇，这个岐管的内部空间我们记为

，外部空间记为

，它有很多洞,可以有无穷多个洞，可以有无穷多个空间维度

，宇宙内外整体记为1，就是说

，这个叫做费马曲线.。费马大定理与哥德巴赫猜想联系起来了。右图，费马定理

=3时的歧管

6，与黎曼猜想联系起来了

数学家考虑的是怎样计算这个岐管上的区域或者计算区域上面的一个点。如果岐管上某一个区域

，在

上的一个点是

，因为这个岐管有无穷多个维度，或者很多维度，要定位这个点，就要考虑它的管壁——实部，还有考虑它的内外空间位置——虚部。所以，这个点

，

。

是虚数，α表示实部，实部是

，因为这个多维宇宙等于1，岐管属于实部，实部上的点当然是1/2。这个正是黎曼函数

，随意在岐管上画出一条线，都需要黎曼猜想计算。计算虚部需要欧拉公式。物理学里，真空是能量的“零点”。黎曼猜想与物理学和费马大定理联系起来了。现在大家看到了黎曼猜想直接渗透到几何拓扑。虚部怎么样计算呢？虚部怎么计算呢？岐管内部看成一个圆管，虚部是什么？它至少应该有管道内或者管道外中的一个参数。假设管道截面是一个圆，管道内的截面圆依然是二维平面，在岐管上的一个点，就是一个圆。大家知道欧拉公式吗？

,以

开始，以相对速度

，走了

时间（虚时间），再加1，回到原点（解析延拓）。

(右下图)虚时间是为了对应时间起点（大爆炸）而定义的一个概念。在虚时间这个概念体系里，在比三维更高的维度空间，时间并不是一条直线，而是一个闭合的圆，没有起始也没有终结，宇宙的起点如果源自大爆炸，那在此之前的时间将无法定义。因此，为了解决奇点之前时间应该如何，我们引用到了复数的概念。如果走的速度超过了

，比如4，

。于是：

。欧拉公式：

…….(1).。

…….(2).。

…….(3)。（3）式看似荒唐，其实是虚时间真实的时空穿越，现在的人“

”与过去的人“

” 在同一时空相遇。也可以理解为两个光量子纠缠，只要知道一个就可以知道另外一个。

7，一系列数论命题联合表示m理论

数学家制造代数或者数论的目的是为几何服务，即便最简单的整数也是为离散几何服务。几何拓扑进展是创造代数或者数论的源泉，创造一个新代数结构必须为它找到几何新结构。物理学家认为，^[11] 宇宙是10维空间或者11维空间，或者26维空间等5个版本。还有物理学家认为有无穷多个维度的空间。他们管这个理论叫做弦理论或者M理论，是把广义相对论与量子理论结合一起的终极理论，霍金说是最后的理论。在弦/m理论的11维空间里，几何体的拓扑性质同粒子紧密相关。例如，这种粒子几何体有几个洞，决定着粒子世代的数目，在这些卷缩维度的空间里所采取的几何构型决定着弦或者膜能够有什么样的震动模式，从而决定着各种粒子的质量、自旋、以及电荷等各种相互作用的耦合常数。原来，不仅仅自旋和同位旋等内部变量和内部空间都出自这些多维空间的几何学，而且粒子的电荷质量等性质，无一不是从这里产生出来的，不仅仅如此，甚至我们生活本身也通过三维空间和一维时间都是从类似的几何体的构造中生长出来的。我们生活在高维宇宙的一小片中，大到银河宇宙，小至原子夸克，都是弦线构成的。

15定理

编辑讨论上传视频15定理概念：如果一个二次多项式可以通过变量取整数值而表示出1~15的值，该二次多项式可以通过变量取整数值而表示出所有正整数。中文名15-定理外文名15- theorem得出时间1993年证明人约翰·何顿·康威领域函数15-定理是由约翰·何顿·康威（John Horton Conway，1937-）和W.A.Schneeberger于1993年证明的定理，内容为：如果一个二次多项式可以通过变量取整数值而表示出1~15的值（更严格的结论是只要表示出1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15）的话（例如

），该二次多项式可以通过变量取整数值而表示出所有正整数。15-定理的证明如下：一.定义下述证明中，“形式”指正定二次型，“格”指有整数内积的格，将正定二次型f视为其对应格L(f)的内积形式。并且定义，如果形式（或对应格）代表每个正整数，则该形式通用。如果f不通用，则将形式与以及其对应的格L(f)的逃逸定义为不由f表示的最小正整数。引入格的提升与自动梯格的概念：对形式f以及所有与形式f的范数相等的“逃逸”向量生成的任何格称为非通用格的提升，并且称所有可以通过对零维格进行一系列连续提升而获得的格称为自动梯格。二.维提升零维格的唯一提升是由范数为1的单个向量生成的格，这个格则对应形式

，其矩阵（系数矩阵）为[1]，[1]的提升对应于内积矩阵

，且有

≤2，所以a=0或±1.只有当a取±1时，其为非通用格，因此我们得到两个二维非通用格，它们再次升格可以得到9格非通用格，即

.对这九个自动梯格升格，得到共207格非通用的四维自动梯格，但如果继续提升，那么会发现并非所有四维自动梯格都是非通用的。实际上，这207格中，只有6个格为非通用格，其余的201个都无法继续提升。通过对这6个非通用的四维自动梯格的提升，一共得到1630个五维梯格。而这些五维梯格恰好都是通用的，也就是说，不存在六维的自动梯格。因此自动梯格是有限的，而且包含1个零维格，2个二维格，9个三维格，207个四维格，1630个五维格，共1850个。三.枚举逃逸对所有这些自动梯格一一进行验证，可以得到九个最小的列向量：